Elementární funkce

Základní vlastnosti funkcí

viz. 2. ročník

• Funkce f a g se rovnají na množině , platí-li pro každé xM: f(x) = g(x).

Příklad 1

Rozhodněte, zda se rovnají na množině R funkce f:y = a g: y = x².

Řešení:

Protože D_f = R a D_g = R, je D_f D_g = R. Dále je H_f = H_g = . Přestože obě funkce mají řadu dalších společných vlastností, bylo by chybné vyslovit závěr, že se dané funkce rovnají. Ze znalostí grafů funkcí f, g resp. řešením rovnice zjistíme, že rovnost f(x) = g(x) nastane jen pro hodnoty x = -1, x = 0, x = 1. Proto se funkce f a g na množině R nerovnají.

Příklad 2

Jsou dány funkce f: a g: y = x + 2. Zjistěte, zda se dané funkce rovnají na množině R, popřípadě určete množinu M, na níž se funkce f a g rovnají.

Řešení:

Určíme D_f = R – {2}, D_g = R. Protože D_f R, funkce se na množině R nerovnají. Protože

D_f D_g = R – {2}, budeme případnou rovnost funkcí vyšetřovat na množině M = R – {2}. Vidíme, že x M je .

Tedy x M = R – {2}, ale taktéž pro každou podmnožinu množiny M se funkce f a g rovnají.

• Říkáme, že funkce h je složena z funkcí f, g, právě když platí:

Funkci h označujeme symbolem h = gf. Operace skládání funkcí není obecně komutativní , a proto

Příklad 3

Jsou dány funkce: f: y = 2x +3, g: y = . Najděte funkce h = fg a k = gf a určete jejich definiční obory.

Řešení:

Pro funkci h dostáváme h(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 3 = 2 + 3, D_h = a v případě funkce k dostaneme k(x) = g(f(x)) = = ,

D_k = .

Přehled elementárních funkcí

• Polynomická funkce n-tého stupně

,

kde n je celé nezáporné číslo, a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ reálné koeficienty, a D_f = R.

Speciálně pro konkrétní hodnoty n dostáváme:

n = 0, y = a₀, zde připouštíme i a₀ = 0 (konstantní funkce)

n = 1, y = a₁x + a₀, a₁ 0 (lineární funkce)

n = 2, y = a₂x² + a₁x + a₀, a₂ 0 (kvadratická funkce)

• Racionální funkce

Definičním oborem funkce je množina R kromě všech nulových bodů polynomu Q_m(x).

Mezi nejdůležitější racionální funkce patří polynomické funkce a funkce:

(nepřímá úměrnost)

(lineární lomená funkce)

(konstantní funkce)

• Mocninná funkce

(mocninná funkce s přirozeným exponentem)

(mocninná funkce s celým záporným exponentem)

(mocninné funkce s racionálním exponentem)

• Exponenciální funkce

• Logaritmická funkce

• Goniometrické funkce

K elementárním funkcím řadíme některé speciální funkce:

• (absolutní hodnota reálného čísla)

• (signum reálného čísla)

Pro x > 0 je sgn x = 1, pro x = 0 je sgn x = 0, pro x < 0, je sgn x = - 1.

• (celá část reálného čísla)

Celá část reálného čísla x je celé číslo n, pro které platí: