Základy diferenciálního počtu

Spojitost funkce

- okolím bodu a, kde , nazveme otevřený interval , tj. množinu všech čísel x, pro něž platí .

Levým okolím bodu a, kde , nazveme interval .

Pravým okolím bodu a, kde, nazveme interval .

- okolím bodu f(a), kde , nazveme otevřený interval, tj. množinu všech čísel f(x), pro něž platí .

Spojitost funkce v bodě

Funkce y = f(x) je spojitá v bodě a jestliže:

1. je definována v nějakém okolí bodu a (včetně bodu samotného)
2. ke každému - okolí bodu f(a) existuje - okolí bodu a tak, že pro všechna x z - okolí bodu a patří funkční hodnoty f(x) do - okolí bodu f(a).

Věty o spojitosti funkce v bodě

1)      Jsou-li funkce f(x) a g(x) spojité v bodě a, pak je spojitá i funkce, která je jejich součtem, rozdílem, podílem a součinem.

2)      Polynomické , goniometrické , exponenciální a logaritmické funkce jsou spojité ve všech bodech, ve kterých jsou definované.

Funkce f(x) je v bodě a spojitá zprava, jestliže ke každému > 0 existuje takové > 0, že nerovnost  je splněna pro všechna .

Funkce f(x) je v bodě a spojitá zleva, jestliže ke každému > 0 existuje takové > 0, že nerovnost  je splněna pro všechna .

Funkce f(x) je spojitá v bodě a, právě když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva.

                                

Funkce je spojitá                                                        Funkce je nespojitá podle 2. bodu

definice.          

                                    

Funkce není spojitá podle 2. bodu definice.                             Funkce není spojitá podle 1. bodu definice.

Spojitost funkce v intervalu

Funkce y = f(x) je spojitá v intervalu I, jestliže je spojitá v každém bodě tohoto intervalu.

Věty o spojitosti funkce v intervalu

1)      Elementární funkce jsou spojité v každém bodě definičního oboru.

2)      Funkce f(x) je spojitá v uzavřeném intervalu , je-li spojitá v intervalu a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b zleva.