Souřadnice bodu a vektoru v rovině a prostoru

 

Soustava souřadnic, souřadnice bodů

 

Soustavu souřadnic zavádíme takto:

1. Zvolíme počátek soustavy souřadnic 0.

2. Počátkem 0 vedeme přímky, které nazýváme osy souřadnic x, y, z.

3. Osy zorientujeme, tj. určíme kladný a záporný směr os od počátku 0. Tím se osy rozdělí na kladnou část a zápornou část (poloosu). Kladné poloosy označujeme obvykle šipkou.

4. Zvolíme jednotky na osách.

 

Ve středoškolské matematice používáme nejčastěji kartézské soustavy souřadnic (ortonormální), které mají osy navzájem kolmé a na všech osách jednotky stejné délky.

 

Podle toho, kde se pohybujeme a pracujeme, zavádíme příslušný počet os. Pro jednoduchost si označíme:

 

Potom v E1 zavedeme jednu osu x, v E2 osy x a y, v E3 osy x, y, z.

 

Každému bodu A se pak přiřazuje:

 

 

Přitom

.

 

 

 

Vektory

 

Při zavedení pojmu vektor vycházíme z pojmu orientovaná úsečka.

 

Orientovaná úsečka je úsečka, jejíž krajní body mají určené pořadí, tj. jeden krajní bod je označen jako počáteční bod, druhý krajní bod je označen jako koncový bod.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Nesouhlasně orientované úsečky                Souhlasně orientované úsečky  

 

 

 

Vektorem nazýváme množinu všech souhlasně orientovaných úseček stejné délky. Vektory označujeme malými písmeny a nad ně umisťujeme šipku (v tištěném textu bývají označeny tučně)

 

Jednotlivé orientované úsečky, které reprezentují (představují) vektor u, nazýváme umístění vektoru u.

Souřadnice vektoru  určujeme jako rozdíl souřadnic konečného a počátečního bodu.

 u = AB = B – A.

 

Velikost vektoru u je velikostí každého jeho umístění a označujeme ji

|u| = |AB|.

 

 

 

Nulový vektor o je každý vektor, jehož velikost je rovna 0. Píšeme |o| = 0. Tento vektor má všechny souřadnice nulové.

 

Vektory u a v se nazývají kolineární, právě když jejich libovolná umístění jsou navzájem rovnoběžná.

Kolineární vektory jsou lineárně závislé, tzn. existuje reálné číslo k, pro které platí v = k.u   (u = k.v). 

 

 

Vektory u,v, w jsou komplanární, jestliže po umístění ve společném počátku leží v jedné rovině.

Komplanární vektory jsou lineárně závislé, tzn. existuje jejich lineární kombinace.

Vektor w je lineární kombinací vektorů u, v, jestliže existují taková reálná čísla k, l, pro která platí

w = k.u + l.v.

 

 

Operace s vektory

 

Sčítání vektorů u a v: Nejprve vektor u umístíme tak, aby jeho počátečním bodem byl bod A a koncovým bodem byl bod B. Pak umístíme vektor v tak, aby jeho počátečním bodem byl bod B a koncovým bodem byl bod C. Součtem vektorů u a v je pak vektor w = AC. Zapisujeme: w = u + v.     

 

 

 

Násobení vektoru u číslem k: Je-li k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, pak je součinem každý vektor v, který má velikost |v| = |k| .|u|.

Pro k > 0 je vektor v souhlasně rovnoběžný s u, pro k < 0 je vektor v nesouhlasně rovnoběžný s u. Zapisujeme v = k.u.  

 

 

Je-li k = - 1, dostaneme vektor (-1).v = - v. Tento vektor nazýváme vektor opačný k vektoru v. Velikost vektoru v a vektoru k němu opačného jsou tatáž čísla.

 

 

Odečítání vektorů u a v: K vektoru u přičteme vektor opačný k vektoru v. Zapisujeme w = u – v = u + (- v).

 

 

Rovnost vektorů u a v: Vektory se rovnají jestliže se rovnají jejich souřadnice.

 

·        V E1:

·        V E2:

·        V E3:

 

Úhel dvou nenulových vektorů, které mají umístění u = AB a v = AC, je konvexní úhel = BAC , kde  .

 

Skalární součin  vektorů u a v je reálné číslo a platí

 

 

Skalární součin vektorů je zaváděn také takto:

 

 

Pro úhel  nenulových vektorů u a v pak platí:

 

 

Kritérium kolmosti vektorů: Dva nenulové vektory u a v jsou kolmé právě tehdy, když u.v = 0